什麼是貝葉斯定理？

貝葉斯定理，以 18 世紀英國數學家托馬斯貝葉斯命名，是確定條件概率的數學公式。條件概率是基於在類似情況下發生的先前結果的結果發生的可能性。貝葉斯定理提供了一種在給定新的或額外的證據的情況下修改現有預測或理論（更新概率）的方法。在金融領域，貝葉斯定理可用於評估貸款給潛在借款人的風險。貝葉斯定理也稱為貝葉斯法則或貝葉斯定律，是貝葉斯統計領域的基礎。

關鍵要點

貝葉斯定理允許您通過合併新信息來更新事件的預測概率。
貝葉斯定理以 18 世紀數學家托馬斯·貝葉斯的名字命名。
它通常在金融中用於計算或更新風險評估。
貝葉斯定理已成為實現機器學習的有用元素。
由於執行交易所需的大量計算能力，貝葉斯定理已被使用了兩個世紀。

理解貝葉斯定理

貝葉斯定理的應用廣泛且不限於金融領域。例如，貝葉斯定理可用於通過考慮任何特定人患疾病的可能性和測試的一般準確性來確定醫學測試結果的準確性。貝葉斯定理依賴於合併先驗概率分布以生成後驗概率。

在貝葉斯統計推斷中，先驗概率是在收集新數據之前發生事件的概率。換句話說，它代表了在進行實驗之前基於當前知識對特定結果概率的最佳理性評估。

後驗概率是在考慮新信息後修正的事件發生概率。後驗概率是通過使用貝葉斯定理更新先驗概率來計算的。在統計術語中，後驗概率是在事件 B 已經發生的情況下，事件 A 發生的概率。

特別注意事項

因此，貝葉斯定理根據與該事件相關或可能與該事件相關的新信息給出事件的概率。該公式還可用於確定事件發生的概率如何受假設的新信息的影響，假設新信息將被證明是真實的。

例如，考慮從一副完整的 52 張牌中抽取一張牌。

這張牌是國王的概率是 4 除以 52，等於 1/13 或大約 7.69%。請記住，甲板上有四個國王。現在，假設顯示選擇的牌是一張面牌。選定的牌是國王的概率，假設它是一張臉牌，是 4 除以 12，或大約 33.3%，因為一副牌中有 12 張臉牌。

貝葉斯定理的公式\begin{對齊} &P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\bigcap{B}\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left (A\right)\cdot{P\left(B|A\right)}}{P\left(B\right)}\\ &\textbf{其中:}\\ &P\left(A\right)= \text{ A 出現的概率}\\ &P\left(B\right)=\text{ B 出現的概率}\\ &P\left(A|B\right)=\text{A 給定的概率B}\\ &P\left(B|A\right)=\text{ 給定 A 的 B 的概率}\\ &P\left(A\bigcap{B}\right))=\text{ 兩個 A 的概率和 B 發生}\\ \end{aligned}磷(A∣B)=磷(乙)磷（一個⋂乙）=磷(乙)磷(一)⋅磷(B∣A)在哪裡：磷(一)= A發生的概率磷(乙)= B發生的概率磷(A∣B)=A給定B的概率磷(B∣A)= B 給定 A 的概率磷（一個⋂乙) )= A和B同時發生的概率貝葉斯定理的例子

下面是貝葉斯定理的兩個示例，其中第一個示例顯示了如何在使用 Amazon.com Inc. ( AMZN ) 的股票投資示例中得出該公式。第二個示例將貝葉斯定理應用於藥物測試。

推導貝葉斯定理公式

貝葉斯定理簡單地來自條件概率公理。條件概率是給定另一個事件發生的事件的概率。例如，一個簡單的概率問題可能會問：「Amazon.com 股價下跌的概率是多少？」條件概率通過詢問更進一步地提出了這個問題：「鑒於道瓊斯工業平均指數(DJIA) 指數較早下跌，AMZN 股價下跌的概率是多少？」

給定 B 已經發生的 A 的條件概率可以表示為：

如果 A 是：「AMZN 價格下跌」，那麼 P(AMZN) 是 AMZN 下跌的概率；B 是：「DJIA 已經下跌」，P(DJIA) 是 DJIA 下跌的概率；然後條件概率表達式讀作「在道瓊斯工業平均指數下跌的情況下，AMZN 下跌的概率等於 AMZN 價格下跌和 DJIA 下跌的概率超過 DJIA 指數下跌的概率。

P (AMZN | DJIA) = P (AMZN 和 DJIA) / P (DJIA)

P(AMZN and DJIA) 是 A 和 B 同時發生的概率。這也與 A 發生的概率乘以在 A 發生的情況下 B 發生的概率相同，表示為 P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)。這兩個表達式相等的事實導致了貝葉斯定理，寫成：

如果，P (AMZN 和 DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)然後，P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA)。

其中 P(AMZN) 和 P(DJIA) 是亞馬遜和道瓊斯指數下跌的概率，彼此無關。

該公式解釋了在看到 P(AMZN) 的證據之前假設的概率與獲得證據 P(AMZN|DJIA) 之後的假設概率之間的關係，假設亞馬遜給出了道瓊斯指數的證據。

貝葉斯定理的數值例子

作為一個數字示例，假設有一個 98% 準確的藥物測試，這意味著 98% 的時間它對使用該藥物的人顯示為真陽性結果，而在 98% 的時間它對未使用該藥物的人顯示為真陰性結果藥品。

接下來，假設 0.5% 的人使用該藥物。如果隨機選擇的人對該藥物呈陽性反應，則可以進行以下計算以確定該人實際上是該藥物使用者的概率。

(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 – 0.98) x (1 – 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%

貝葉斯定理表明，即使一個人在這種情況下檢測呈陽性，也有大約 80% 的機會該人不服用該藥物。

問題和答案

貝葉斯定理的歷史是什麼？

該定理是在英國長老會牧師和數學家托馬斯·貝葉斯的論文中發現的，並在 1763 年被皇家學會宣讀後發表。由於布爾計算長期被忽視，貝葉斯定理最近由於計算量的增加而變得更加流行執行複雜計算的能力。這些進步導致使用拜耳定理的應用增加。它現在被應用於各種概率計算，包括財務計算、遺傳學、藥物使用和疾病控制。

貝葉斯定理說明了什麼

貝葉斯定理指出，基於另一個事件的發生，一個事件的條件概率等於給定第一個事件的第二個事件的可能性乘以第一個事件的概率。

你如何計算貝葉斯定理？

貝葉斯定理根據特定相關已知概率的值計算事件的條件概率。